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【M】【考察】レックスのパープルイヤリングの強化費用最小化

2019-05-06 12:22
スマホ版のメイプルストーリーMに関する考察記事です。
(前回からやっているように、目印としてタイトルの先頭に【M】をつけています。)

現時点で最強のイヤリングである「レックスのパープルイヤリング」は、
獲得するのに「パープルイヤリングの欠片」が10個必要です。
また、強化書として、以下の2種類が用意されています。
・成功率10%, 失敗率90%のもの:欠片1個、
・成功率50%、失敗率40%, 破壊率10%のもの:欠片2個

ここでは、どちらの強化書を使って強化をすると、費用(欠片の消費量)の期待値が小さくなるか
を考えていきます。

結論から言うと、
3回成功するまでは成功率50%のものを使い、それ以降は成功率10%のものを使う
という方法を取ったとき、費用の期待値が最小になります。
(当然、運がからむものですので、強化は自己責任で行ってください)
考え方

まず、成功率10%のものを使用する場合は、
それまで何回成功しているかに関係なく、1回成功するのにかかる費用の期待値は、
1 * (1 / 0.1) = 10
です。
(補足: 一般に、確率pで起こる事象が初めて起こるまでの試行回数nの期待値は、1/pです。
実感がわかない方は「1が出るまでサイコロを投げ続けて、投げた回数を記録する」という実験を繰り返してください。
飽きる頃には平均が6回になっているはずです。)

次に、成功率50%のものの場合です。
成功するまでに消費する強化書の数の期待値は、
1 / 0.5 = 2
です。
強化書1つあたり欠片2個なので、強化書として消費する欠片の期待値は、
2 * 2 = 4
となります。

続いて、破壊による追加費用を求めます。
ここでは、
失敗した場合は、5回に1回の確率で、強化しているイヤリング1個分の費用が追加で発生する
と考えます。
1回成功するまでに失敗する回数の期待値は、
(1 / 0.5) - 1 = 1
であるため、
「強化しているイヤリング1個分の費用の期待値」をCと表すことにすると、
破壊による追加費用の期待値は、
C/5
となります。
(同様の結果は、試行回数の期待値2に破壊確率の10%をかける、という考え方でも得られます)

まとめると、成功率50%のものを使用した場合の費用の期待値は、
4 + C/5
となります。

たとえば、まだイヤリングの強化を全く行っていない場合は、C=10ですので、
4 + C/5 = 4 + 10/5 = 6
となります。

成功率10%のものを使用する場合の費用の期待値は常に10ですので、
イヤリングの強化を全く行っていないときは、
50%のものを使用したほうが費用の期待値が小さくなることが分かります。

続いて、1回強化が成功している場合を考えます。
1回強化が成功したイヤリングを作成するまでにかかる費用の期待値Cは、
C = 10 + 6 = 16
ですので、この状態から成功率50%のものを使用した場合の費用の期待値は、
4 + C/5 = 4 + 16/5 = 7.2
となります。
まだ10より小さいので、1回成功している場合でも、50%の強化書を使用するほうが、
費用の期待値が小さくなることが分かります。

同様の計算を、2回成功している場合に当てはめると、
4 + C/5 = 4 + (16 + 7.2)/5 = 8.64
となり、まだ成功率50%のものを使用したほうが費用の期待値が小さくなることが分かります。

さて、3回成功している場合に当てはめると、
4 + C/5 = 4 + (23.2 + 8.64)/5 = 10.368
となり、わずかに10を上回ります。
したがって、この場合は、成功率10%のものを使用したほうが費用の期待値が小さくなることが分かります。

成功数が増えるほどCは増えるため、4回以上成功している場合に関しても、
成功率10%のものを使用したほうが費用の期待値が小さくなることが分かります。

以上より、
3回成功するまでは成功率50%のものを使い、それ以降は成功率10%のものを使う
という方法を取ったとき、費用の期待値が最小になる、と結論づけられます。

繰り返しになりますが、強化は自己責任でやってください。
以上です。

(高校生のための補足)
これを高校数学の問題として考えるのであれば、強化がn回成功しているイヤリングの費用をC_nとすると、
4 + C_n / 5 < 10 ・・・①
を満たすnの最大値を求める問題になります。
ここで、C_nの漸化式を考えると、
C_0 = 10,
C_(n+1) = C_n + (4 + C_n / 5) = 4 + 6*C_n/5
ですので、うまいこと計算するとC_nはnの式で表せます。
その式を①の式に入れると、nの最大値が2となることが分かります。
(漸化式を解くのは、練習だと思って自分でやってみてください)
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